В 1982 году окончил Минский медицинский институт. Работал врачом, участвовал в художественной самодеятельности.

Позже — солист эстрадного оркестра ДК Белсовпрофа.

С 1987 года — солист Государственного концертного оркестра Беларуси.

1989 год — начата работа солистом театра песни Ядвиги Поплавской-Александра Тихановича.

1991 год — начало сольной карьеры, выступление с группой «Карусель». Песни: на русском и белорусском языках, стилистика: шлягерная песня. В том же году получил прозвище «Веселый молочник».

Принимает участие в теле- и радио передачах, выступает с концертами в странах СНГ.

В 1995 году приехал в Россию. Вышел альбом «Здравствуй, чужая милая». На одноимённый хит, являющийся ремейком (он исполнялся разными артистами ещё в советское время) был снят клип, попавший в программу Доброе утро, страна!. Но затем начались какие-то проблемы, и вскоре Солодуха вернулся в Минск^[1].

В конце девяностых певец опять появился в России и начал сотрудничать с Александром Морозовым. В октябре 1999 года был снят клип на песню «Калина». Ротация на российских телеканалах, в том числе наРоссии («Доброе утро, страна!»).

3 июля 2000 года вышел альбом «Калина, калина», имевший хороший спрос в России. Но уже 8 июля Солодуха опять уехал в Белоруссию^[2]. Песни «Калина», «Обнимала, не любила» и «Плыть, плыть, плыть» перешли в репертуар Братьев Радченко.

В 2005 году — презентация альбома «Сотни километров до любви» (вошли композиции прошлых лет и новые песни). Песня «Виноград» попала в ротацию Дорожного радио.

20 сентября 2007 в Витебском летнего амфитеатре состоялся сольный концерт (сотый концерт в рамках тура по городам Белоруссии в поддержку альбома в 2007 году) Александра Солодухи «Сотни километров до любви», посвященный 20-тилетнему юбилею концертной деятельности артиста.^[3]

В 2010 году вышел альбом «Ты для меня сбылась» с клипом на заглавную композицию.

В 2011 году вышел фильм об Александре Солодухе «Дочки моей глаза». В кадры фильма попал Стас Михайлов, который также сотрудничал с Солодухой как автор (песни «Тебе, любимая»)^[4]. В том же году Солодуха снова приехал в Россию и записал альбом. 11 ноября он был выпущен.

Альбом был встречен смешанной рецензией Ильи Малиновского, который отметил, что хитов вроде «Чужой милой» и «Винограда» на диске нет. Материал слишком похож на песни из предыдущих альбомов. Положительно охарактеризовал музыку (кроме песни Михайлова) и аранжировки: «Настолько непредсказуемые музыкальные ходы мог написать только один из самых знаменитых композиторов страны» (белорусский композитор Олег Елисеенков). Критике подверглись тексты песен. По мнению Малиновского, они самые типичные, но искреннее и даже наивное исполнение Солодухи вносит в них определённый смысл. Крайне негативно журналист отозвался о тексте песни «Памяти В.Мулявина». То, что этот текст был указан как народный, по мнению Малиновского, означает, что автор просто «спрятался» «из-за стыда» за свою бездарность^[5].

4 ноября 2012 года итальянская поп-панк группа Vanilla Sky исполнила на концерте в Минске перепетую песню «Здравствуй, чужая милая».